Selamat datang di maiav3.blogspot.com => Blog "TANPO ASMO"

LOGIKA INFORMATIKA

Kamis, 17 Januari 20130 komentar

Aljabar Boolean

Definisi Aljabar Boole

        Misalkan terdapat
-         Dua operator biner: + dan ×
-         Sebuah operator uner: ’.
-         B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’
-         0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

Tupel

                   (B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boole jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure: (i)  a + b Î B   
                  (ii) a × b Î B     

2. Identitas:     (i)  a + 0 = a
                        (ii) a × 1 = a
                 
3. Komutatif:   (i)  a + b = b + a
                              (ii)  a × b = b . a

4. Distributif:   (i)   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
                              (ii)  a + (b × c) = (a + b) × (a + c)
                 
5. Komplemen[1]:     (i)  a + a’ = 1
                                    (ii)  a × a’ = 0

Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean dua-nilai:
-         B = {0, 1}
-         operator biner, + dan ×
-         operator uner, ’
-         Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

a
b
a × b

a
b
a + b

a
a
0
0
0

0
0
0

0
1
0
1
0

0
1
1

1
0
1
0
0

1
0
1



1
1
1

1
1
1




Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1.    Closure :  jelas berlaku
2.    Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i)  0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0  = 0 × 1 = 0
3.    Komutatif:  jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner. 
4.    Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas  dengan membentuk tabel kebenaran:

a
b
c
b + c
a × (b + c)
a × b
a × c
(a × b) + (a × c)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1

(ii) Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

5.    Komplemen: jelas berlaku karena memperlihatkan bahwa:
    (i)  a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
    (ii) a × a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0 

Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan × operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean. 

Ekspresi Boolean
·       Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:
(i)   setiap elemen di dalam B,
(ii)  setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 × e2, e1’ adalah ekspresi Boolean

Contoh:     0
                   1
                   a
                   b
                   a + b
                   a × b
                   a× (b + c)
                   a × b’ + a × b × c’ + b’, dan sebagainya

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

·       Contoh:  a× (b + c)

 jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

                   0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1

·       Dua ekspresi Boolean dikatakan ekuivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.

Contoh:
                   a × (b + c) = (a . b) + (a × c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + ab = a + b .
Penyelesaian:

a
b
a
ab
a + ab
a + b
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1

·       Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i)           a(b + c) = ab + ac
(ii)                       a + bc = (a + b) (a + c)
(iii)                    a × 0 , bukan a0

Hukum-hukum Aljabar Boolean
    
              1.  Hukum identitas:
                 (i)    a + 0 = a
                 (ii)  a × 1 = a

2.  Hukum idempoten:
               (i)   a + a = a
               (ii)  a × a = a

3.  Hukum komplemen:
                 (i)    a + a’ = 1
                 (ii)  aa’ = 0 

4.  Hukum dominansi:
               (i)    a × 0  = 0
               (ii)   a + 1 = 1

5.  Hukum involusi:
                 (i) (a’)’ = a
                    
6.  Hukum penyerapan:
                (i)    a + ab = a
               (ii)  a(a + b) = a

7.  Hukum komutatif:
                 (i)    a + b = b + a
                (ii)   ab = ba

8.  Hukum asosiatif:
              (i)    a + (b + c) = (a + b) + c
               (ii)   a (b c) = (a b) c

              9.  Hukum distributif:
              (i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
                 (ii) a (b + c) = a b + a c                    

10.    Hukum De Morgan:
                  (i) (a + b)’ = ab
                  (ii) (ab)’ = a’ + b

          11.           Hukum 0/1
  (i)   0’ = 1
       (ii)  1’ = 0














Share this article :

Posting Komentar

 
Support : Maia Achiea Template
Copyright © 2011. .: ^_^ :. - All Rights Reserved
Proudly powered by Blogger