Aljabar Boolean
Aljabar Boolean Dua-Nilai
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel
operator biner.
Definisi Aljabar Boole
Misalkan terdapat
-
Dua operator biner: + dan ×
-
Sebuah operator uner: ’.
-
B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, ×, dan ’
-
0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, ×, ’)
disebut aljabar Boole
jika untuk setiap a, b, c
Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat
Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b
Î B
(ii)
a × b
Î B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a
× 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii)
a × b = b . a
4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
(ii)
a + (b × c) = (a + b)
× (a + c)
5. Komplemen[1]: (i) a + a’
= 1
(ii) a × a’
= 0
Aljabar Boolean dua-nilai:
-
B = {0, 1}
-
operator biner, + dan ×
-
operator uner, ’
-
Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
|
a
|
b
|
a × b
|
|
a
|
b
|
a + b
|
|
a
|
a’
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
|
0
|
1
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
|
|
|
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1.
Closure : jelas berlaku
2.
Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat
kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 × 0 = 0 × 1 = 0
4.
Distributif: (i) a
× (b + c)
= (a × b) + (a × c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
|
a
|
b
|
c
|
b + c
|
a × (b + c)
|
a × b
|
a × c
|
(a × b) + (a × c)
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(ii) Hukum
distributif a + (b × c) = (a + b) × (a + c) dapat ditunjukkan
benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5.
Komplemen: jelas berlaku karena memperlihatkan
bahwa:
(i) a + a‘
= 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a
× a = 0, karena 0 × 0’= 0 × 1 = 0 dan 1 × 1’ = 1 × 0 = 0
Karena kelima postulat
Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan
operator biner + dan × operator
komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
·
Misalkan (B, +, ×, ’) adalah sebuah aljabar
Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii)
jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean,
maka e1 + e2, e1 × e2, e1’
adalah ekspresi Boolean
Contoh: 0
1
a
b
a + b
a × b
a’× (b + c)
a × b’ + a
× b × c’ + b’, dan
sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
·
Contoh: a’× (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c
= 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’× (1 + 0) = 1 × 1 = 1
·
Dua ekspresi Boolean dikatakan ekuivalen
(dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap
pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a × (b + c) = (a
. b) + (a × c)
Contoh. Perlihatkan
bahwa a + a’b = a + b
.
Penyelesaian:
|
a
|
b
|
a’
|
a’b
|
a + a’b
|
a + b
|
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
·
Perjanjian: tanda titik (×) dapat dihilangkan dari
penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b
+ c) = ab + ac
(ii)
a + bc = (a + b) (a + c)
(iii)
a × 0 , bukan a0
Hukum-hukum Aljabar Boolean
|
1. Hukum identitas:
(i) a
+ 0 = a
(ii) a × 1 = a
|
2. Hukum idempoten:
(i) a
+ a = a
(ii) a × a = a
|
|
3. Hukum komplemen:
(i) a
+ a’ = 1
(ii) aa’ = 0
|
4. Hukum dominansi:
(i) a
× 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
|
|
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a
|
6. Hukum penyerapan:
(i) a
+ ab = a
(ii) a(a + b) = a
|
|
7. Hukum komutatif:
(i) a
+ b = b + a
(ii) ab = ba
|
8. Hukum asosiatif:
(i) a
+ (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c) = (a b) c
|
|
9. Hukum distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
|
10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
|
|
11.
Hukum 0/1
(i)
0’ = 1
(ii)
1’ = 0
|
|
Posting Komentar